Latihan Matematika Minat PTS 2021

 Nama : Putri Dea Ananda

Kelas : X MIPA 1

1. a + 2b – 3c

= 

= 

= 

= 

= (–1    13     –2)

= –i + 13j – 2k

2. Diketahui vektor u=(8,6) dan vektor v=(4,3). jika p vektor u +q vektor v=7 vektor v

<8p,6p> + <4q,3q> = <28,21>

24p + 12q = 84
24p + 12q = 84

2p + q = 7
q = 7 - 2p (C)

3. a = 2i - 3j + 4k,

b = 5j + 5k = 0i + 5j + 5k
ab = 2(0) + (-3)(5) + 4(5) = 0 - 15 + 20 = 5

4. |a + b| = 2√19

|a + b|^2 = (2√19)^2
|a|^2 + 2ab + |b|^2 = 4(19)
4^2 + 2ab + 6^2 = 76
16 + 2ab + 36 = 76
2ab = 24

|a - b|^2 = |a|^2 - 2ab + |b|^2
|a - b|^2 = 4^2 - 24 + 6^2
|a - b|^2 = 28
|a - b| = √28 = 2√7

5. b x c = 0

(p,2,-1) x (1,-1,3) = 0
(p,-2,-3) = 0
p-2-3= 0
p = 5

a-b-c =
(2,-3,1)-(5,2,-1)-(1,-1,3) = (-4,4,-1)

6. a . b = |a| |b| Cos 60
(I - 2 + p²) = √(3 + p²) √(p² - 1) (1/2)
P² - 1 = √(p² + 3) √(p² - 1) (1/2)
2p² - 2 = √[(p²)² + 2p² -3]
4(p²)² - 4 = (p²)² + 2p² - 3
3(p²)² - 2p² - 1 = 0

Misal p² = a
3a² - 2a - 1 = 0
(3a + 1)(a - 1) = 0
a = 1
a = -1/3 (Tidak Memenuhi)

P² = 1
P² - 1 = 0
P² - 1² = 0
(P + 1)(P - 1) = 0
P = 1
P = -1

7.  A = (3, 2, -1)

B = (1, -2, 1)
C = (7,(p - 1), -5)

panjang AB = B - A
= (1, -2, 1) - (3, 2, -1)
= (-2, -4, 2)

panjang BC = C - B
= (7, (p - 1), -5) - (1, -2, 1)
= (6, (p + 1), -6)

kita cari konstanta yang mengubah (-2, -4, 2) menjadi (6, (p + 1), -6)

misal kita ambil vektor dari sumbu x
-2 * x = 6
x = 6 / -2
 x = -3

maka,

-4 * x = (p + 1)
-4 * -3 = p + 1
12 = p + 1
p = 12 - 1
p = 11

8. Diketahui

• A(3, 1, –4)
• B(3, –4, 6)
• C(–1, 5, 4)
• AP : PB = 3 : 2

Ditanyakan

Vektor PC = .... ?

Jawab

AP : PB = 3 : 2, maka

p = 

p = 

p = 

p = 

p = (3, –2, 2)

Jadi vektor PC

= c – p

= 

= 

= –4i + 7j + 2k

= (–4, 7, 2)

9. Diketahui

a = (-2,8,4)
b = (0,p,4)

menggunakan rumus proyeksi skalar orthogonal
a • b / |b| = 8
8p + 16 / √p² + 16 = 8
pindah ruas
8p + 16 = 8√p² + 16
Kuadrat kedua ruas (8p + 16)^2 = (8√p² + 16)^2
64p² + 256p + 256 = 64p² + 1.024
256p = 1.024 - 256
256p = 768
p = 768 : 256
p = 3

10. Diketahui :
a = (p, 2, -1)
b = (4, -3, 6)
c = (2, -1, 3)
a tegak lurus b => a.b = 0

Ditanyakan :
(a - 2b) . 3c = .... ?

Jawab :
a . b = 0
(p, 2, -1) . (4, -3, 6) = 0
p(4) + 2(-3) + (-1)(6) = 0
4p - 6 - 6 = 0
4p = 12
p = 3

a - 2b
= (p, 2, -1) - 2(4, -3, 6)
= (3, 2, -1) - (8, -6, 12)
= (-5, 8, -13)

3c = 3(2, -1, 3) = (6, -3, 9)

(a - 2b) . 3c
= (-5, 8, -13) . (6, -3, 9)
= -5(6) + 8(-3) + (-13)(9)
= -30 - 24 - 117
= -171

11. 

12.

13. AB= b-a

BC= c-b

AB=(-1,1,-1)-(2,7,8)
=(-3,-6,-9)

BC=(0,3,2)-(-1,1,-1)
=(1,2,3)

e= u•v/|v|² kali v
=(-3•1)+(-6•2)+(-9•3)/(√1²+2²+3²)²kali (1,2,3)
=-3-12-27/(√14)² kali (1,2,3)
=-42/14 kali (1,2,3)
= -3(1,2,3)
= (-3,-6,-9)

14. Saling tegak lurus, maka

a . b = 0
(2,-3,6) . (1,p,-1) = 0
2 + (-3p) + (-6) = 0
-3p - 4 = 0
p = -4/3

15. B. 6 ī + 2 j + 4 k

16. |z| = ½ |b||

|z| = ½ √(2)² + (y)² + (2)²

|z| = ½ √y² + 8

a.b = (3, -2, 1) × (2, y, 2) = (6 - 2y + 2) = 8 - 2y

Proyeksi a pada b
|z| = a.b / |b|
½ √y² + 8 = (8 - 2y) /√y² + 8
½ (√y² + 8) (√y² + 8) = 8 - 2y
y² + 8 = 2 (8 - 2y)
y² + 8 = 16 - 4y
y² + 4y - 8 = 0

y = (-4 ± 2√10) / 2

17. Diketahui

 dan 

Kedua vektor membentuk sudut θ dengan cos θ = ⁶/₁₁.

Vektor proyeksi u pada v adalah 

Ditanya

Nilai b

Penyelesaian

Kita coba siapkan terlebih dahulu perkalian titik (dot product) dari vektor u dan vektor v.

Langkah pertama adalah membentuk persamaan dari vektor-vektor u dan v terkait cosinus sudut antara keduanya.

Rumus cosinus sudut vektor u dan v

Sederhanakan dengan kedua pembilang dibagi 3.

Kita sebut sebagai Persamaan-1.

Langkah kedua adalah membentuk hubungan antara vektor v dengan vektor proyeksi u pada v yaitu vektor p.

Vektor proyeksi u pada v adalah vektor p, yakni

Kita misalkan  sebagai k yaitu faktor pembanding (atau pengali).

Dapat disimpulkan bahwa jika vektor proyeksi u pada v adalah p, maka terdapat hubungan 

Diperoleh ka = 4, kb = 2, dan ka = 4.

Dari k = ⁴/ₐ disubsitusikan ke kb = 2 menjadi  (⁴/ₐ)b = 2 lalu menjadi 4b = 2a.

Selanjutnya diperoleh hubungan a = 2b sebagai Persamaan-2.

Substitusikan Persamaan-2 ke Persamaan-1.

Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat.

Kalikan silang.

5b² + 81 = 121

5b² - 40 = 0

Sederhanakan kedua ruas dengan dibagi 5.

b² - 8 = 0

Faktorkan.

(b - √8)(b + √8) = 0

Untuk b = √8 diperoleh b = 2√2

Untuk b = -√8 diperoleh b = -2√2

18. x + 1>_ 0 atau x - 2 <_O

X>_-1 atau x <_2

{-1<_x<_2}

Maka Ipl <_ 2lal untuk { -1 <_ x <_ 2}(C)

lal = akar [(x+1)^2+x^2]

= akar [x^2+2x+1+x^2] 

= akar [2x^2+2x+1]

Ipl = [bca] / lal 

= [2x i+(3x+1) j] * [(x+1) i+x j] / akar [2x^2+2x+1

= [(2x^2+2x) + (3x^2+x)] /

akar [2x^2+2x+1] = [5x^2 + 3x] / akar [2x^2+2x+1]

Ipl <_ 2lal [5x^2+3x] / akar[2x^2+2x+1] <_

2x[akar [2x^2+2x+1]

5x^2+3x <_2X[(akar [2x^2+2x+1]) *

(akar [2x^2+2x+1)I

5x^2 + 3x <_2x[2x^2+2x+1]

5x^2 + 3x <_ 4x^2 + 4x +2

5x^2 - 4x^2 + 3x -4x-2 < 0

X^2 - X-2<_O

(x + 1)(x - 2)<_0

19. Cari dulu nilai a

u.v = -4

2a-6-8=-4

2a=-4+6+8

2a=10

a=5

maka u + v = 2i+3j-2k + 5i-2j+4k = 7i+j+2K

20. Diketahui :

A(4,7,0), B(6,10,-6), C(1,9,0)

AB = u, AC = v

dit : sudut u dan v

u = B-A = (2,3,-6) |u|=√2²+3³+(-6²)=√49=7

v = C-A = (-3,2,0) |v|=√-3²+2²+0=√13

u.v=(-6,6,0)=0(dikali kemudian ditambah)

(u.v)²= |u|²+|v|²+2.|u|.|v|.cosα

u.v=√7²+(√13)²+2.7.√13. cosα

0=√49+13+14√13.cosα

0²=62 + 14√13 cosα

-62 = 14√13 cosα

cosα = -62/14√3