SOAL PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

SOAL PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

DAN SIFAT-SIFATNYA

Soal No.1

Carilah himpunan penyelesaian dari 2log(x2 + 4x) = 5

Pembahasan

2log(x2 + 4x) = 5

2log(x2 + 4x) = 2log 25

2log(x2 + 4x) = 2log 32

maka :

x2 + 4x = 32

x2 + 4x - 32 = 0

(x - 4)(x + 8) =

x = 4 dan x = -8

Himpunan penyelesaiannya adalah {-8, 4}

Soal No.2

Carilah himpunan penyelesaian dari 5log(2x2 + 5x - 10) = 5log(x2 - 2x + 18)

Pembahasan

5log(2x2 + 5x - 10) = 5log(x2 - 2x + 18)

2x2 + 5x - 10 = x2 - 2x + 18

2x2 - x2 + 5x - 2x - 10 - 18 = 0

x2 + 3x - 28 = 0

(x - 4)(x + 7) = 0

x=4 dan x=-7

Himpunan penyelesaiannya adalah {4,-7}

Soal No.3

Carilah himpunan penyelesaian dari 4log(3x - 1) = 5log(2x + 2)

Pembahasan

4log(3x - 1) = 5log(2x + 2)

3x - 1 = 2x + 2

3x - 2x - 1 - 2 = 0

x - 3 = 0

x = 3

Himpunan penyelesaiannya adalah {3}

Soal No.4

Carilah himpunan penyelesaian dari (x2-1)log(2x2 - 2x + 20) = (x2-1)log(x2 + 6x + 5)

Pembahasan

(x2-1)log(2x2 - 2x + 20) = (x2-1)log(x2 + 6x + 5)

2x2 - 2x + 20 = x2 + 6x + 5

2x2 - x2 - 2x - 6x + 20 - 5 = 0

x2 - 8x + 15 = 0

(x - 3)(x - 5) = 0

x = 3 dan x = 5

Himpunan penyelesaiannya adalah {3,5}

Soal No.5

Tentukan nilai x dari persamaan logaritma 3log2x - 7.3log x + 12 = 0

Pembahasan

Misalkan : p = 3log x

Maka :

p2 - 7p + 12 =

(p - 4)(p - 3) = p = 4 dan p = 3

Substitusi nilai p = 3log x, sehingga diperoleh nilai x:

3log x = p (masukkan nilai p = 4)

3log x = 4 ⇒ x = 34 = 81

3log x = p (masukkan nilai p = 3)

3log x = 3 ⇒ x = 33 = 27

Jadi nilai x nya adalah {81, 27}

1. 5log 3x + 5 < ⁵log 35

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)

3x + 5 < 35

3x < 30

x < 10 ....(2)

Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

2.3log (2x + 3) > ³log 15

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2x + 3 > 15

2x > 12

x > 6 ....(2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.

3. ²log (6x + 2) < ²log (x + 27)

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)

x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

6x + 2 < x + 27

6x – x < 27 – 2

5x < 25

x < 5 ..... (3)

Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5

4. ²log (5x – 16) < 6

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

²log (5x – 16) < ²log 26

²log (5x – 16) < ²log 64

5x – 16 < 64

5x < 80

x < 16 . . . . (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.

5. ⁴log (2x² + 24) > ⁴log (x² + 10x)

Pembahasan :

Syarat nilai pada logaritma.

2x² + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x . . . (1)

x² + 10x > 0, maka x < -10 atau x > 0 . . . . (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x² + 24) > (x² + 10x)

2x² - x² - 10x + 24 > 0

x² - 10x + 24 > 0

(x – 4)(x – 6) >

x < 4 atau x > 6 ....(3)

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.

6. ^x+1log (2x – 3) < ^x+1log (x + 5)

Pembahasan :

Syarat nilai pada bilangan x+1>0

Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<x+1<1 dan x+1>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Untuk 0<x+1<1 atau -1 < x <0. . . (1)

Syarat nilai pada logaritma.

2x – 3 > 0, maka x>3/2 . . . (2)

x + 5 > 0, maka x > -5 . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x – 3) > (x + 5)

2x - x > 5 + 3

x > 8 ...(4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian.

Untuk x+1>1 atau x > 0 . . . (1)

Syarat nilai pada logaritma.

2x – 3 > 0, maka x>3/2 . . . (2)

x + 5 > 0, maka x > -5 . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x – 3) < (x + 5)

2x - x < 5 + 3

x < 8 ...(4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 3/2 <x < 8.

Jadi, penyelesaiannya adalah 3/2 <x< 8.

7. ^2x-5log (x² + 5x) > ^2x-5log (4x + 12)

Pembahasan :

Syarat nilai pada bilangan 2x-5 > 0

Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<2x-5<1 dan 2x-5>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Untuk 0< 2x-5 <1 atau 5/2 < x < 3 . . . (1)

Syarat nilai pada logaritma.

x² + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0 . . . (2)

4x + 12 > 0, maka x > -3 . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(x² + 5x) < (4x + 12)

x² + 5x - 4x - 12 < 0

x² + x - 12 < 0

(x + 4)(x - 3) < 0

-4 < x < 3 . . . . . (4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.

Untuk 2x-5 > 1 atau x > 3 . . . (1)

Syarat nilai pada logaritma.

x² + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0 . . . (2)

4x - 12 > 0, maka x > 3 . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(x² + 5x) > (4x + 12)

x² + 5x - 4x - 12 > 0

x² + x - 12 > 0

(x + 4)(x - 3) > 0

x <-4 atau x > 3 . . . . . (4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.

Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 dan x =/ 3

PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:

Saat a > 1

Jika $^a\log f(x) < ^a \log g(x)$ , maka $0 < f(x) < g(x)$
Jika $^a\log f(x) > ^a\log g(x)$ , maka $f(x) > ;g(x) > 0$

Saat 0 < a < 1

Jika $^a\log f(x) < ^a\log g(x)$ , maka $f(x) > g(x) > 0$
Jika $^a\log f(x) > ^a\log g(x)$ , maka $0 < f(x) < g(x)$

Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:

$^2\log(2x + 1) < ^2\log 3$

Berubah bentuk menjadi:

$2x + 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika $^a\log f(x) < ^a\log g(x)$ , maka $0 < f(x) < g(x)$ . Sehingga:

$0 < (2x+1) < 3$

$-1 < (2x) < 2$

$-\frac{1}{2} < x < 1$

Garis bilangannya adalah:

contoh soal persamaan dan pertidaksamaan logaritma

Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan $y = ^a \log x$ . Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:

$(2 \log x-1)(\frac{1}{^x\log 10}) > 1$

Diubah menjadi:

$(2 \log x - 1)(\log x) > 1$

$2 \log^2 x - \log x - 1 > 0$

Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi:

$2y^2 - y - 1 > 0$

$(2y + 1)(y - 1)$

Akar-akarnya adalah :

$y_1 = -\frac{1}{2}$ dan $y_2 = 1$

Maka nilai x adalah:

$y_1 = -\frac{1}{2}\overset{maka}{\rightarrow}-\frac{1}{2} = \log x$

$x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$y_2 = 1\overset{maka}{\rightarrow}1 = \log x$

$x_2 = 10$

Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah:

pertidaksamaan logaritma

Penyelesaiannya adalah:

$0 < x < \frac{1}{\sqrt{10}}$ atau $x > 10$

SOAL PERSAMAAN LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

SOAL PERSAMAAN LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

Sifat-Sifat Logaritma

Sifat-sifat Logaritma

Operasi logaritma memiliki sifat apabila dikalikan, dibagi, ditambah, dikurang atau bahkan dipangkatkan. Sifat-sifat dari operasi logaritma tersebut dijelaskan oleh tabel di bawah ini :

1. Sifat Logaritma Dasar

Sifat dasar dari sebuah perpangkatan adalah apabila sebuah bilangan dipangkatkan dengan 1 maka hasilnya akan tetap sama dengan sebelumnya.

Sama halnya dengan logaritma, apabila sebuah logaritma memiliki basis dan numerus yang sama maka hasilnya adalah 1.

^alog a = 1

Selain itu, apabila suatu bilangan dipangkatkan dengan 0 maka hasilnya adalah 1. Untuk itulah apabila numerus logaritma bernilai 1 maka hasilnya adalah 0.

^a log 1 = 0

2. Logaritma Koefisien

Apabila sebuah logaritma memiliki basis atau numerus yang berpangkat. Maka, pangkat dari basis atau numerus tersebut dapat menjadi koefisien dari logaritma itu sendiri.

Pangkat basis menjadi penyebut dan pangkat numerus menjadi pembilang.

^{( a^x )}log ( b^y ) = ( y / x ) . ^alog b

Ketika basis dan numerus memiliki pangkat yang bernilai sama maka pangkat tersebut dapat dihilangkan karena koefisien logaritma bernilai 1.

^{(a^x)}log(b^x) = (x/x) . ^alog b = 1 . ^alog b

Sehingga

^{(a^x)}log (b^x) = ^alog b

3. Logaritma Sebanding Terbalik

Sebuah logaritma dapat memiliki nilai yang sebanding dengan logaritma lain yang berbanding terbalik antara basis dan numerusnya.

^a log b = 1 / ( ^b log a )

Jangan langsung kesel karena liat sifat-sifat logaritma di atas ya hehehe. Semua sifat logaritma di atas bisa kita kuasai dengan mudah jika kita sering mengerjakan latihan soal logaritma. Ayo kita kerjakan soal-soal dibawah ini.

4. Sifat Perpangkatan Logaritma

Apabila sebuah bilangan dipangkatkan dengan logaritma yang memiliki basis yang sama dengan bilangan tersebut maka hasilnya akan berupa numerus dari logaritma itu sendiri.

a ^ ( ^alog b ) = b

5. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Logaritma

Logaritma dapat dijumlahkan dengan logaritma lain yang memiliki basis yang sama. Hasil dari penjumlahan tersebut berupa logaritma dengan basis yang sama dan numerus yang dikalikan.

^alog x + ^a log y = ^a log ( x . y )

Selain penjumlahan, logaritma juga dapat dikurangkan dengan logaritma lain yang memiliki basis yang sama.

Namun, terdapat perbedaan pada hasilnya dimana hasilnya akan berupa pembagian antara numerus dari logaritma.

^alog x – ^a log y = ^a log ( x / y )