Pengertian Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen yaitu sebuah persamaan yang eksponennya juga mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat a m x a n = a m + n.
Sifat – Sifat Persamaan Eksponen Berdasarkan Pangkatnya
Sifat – sifat persamaan eksponen sederhana banyak sifatnya, berikut ini sifat – sifat persamaan eksponen berdasarkan pangkatnya adalah :
1. Pangkat Bulat Positif (m dan n bulat positif )
- am. an = am+n
- am/an = am-n
- (am)n = am.n
- (ab)m = am. bm
- (a/b)m = am/bm
2. Pangkat Nol
- a0 = 1, dengan syarat a ≠ 0
3. Pangkat Bulat Negatif ( n positif )
- a-n = 1/an , atau 1/a-n = an
4. Pangkat Bilangan Pecahan
- a1/n = n√a
- am/n = n√am = ( n√a)m
Jenis – Jenis Persamaan Eksponen
berikut ini jenis eksponen yang persamaannya memuat peubah adalah :
- 4x – 2x – 6 = 0
- 23x-2 = 128
1. Persamaan eksponen berbentuk ap = aq
Jika a > 0 ; a ≠ 1 dan ap = aq maka p = q
Contoh :
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan
- 23x-2 = 128
- 5×2 + 6x – 42 = 3125 12 – x
- 42x – 18x + 4 = 0
Jawab :
- 23x-2 = 128
23x-2 = 27
3x – 2 = 7
3x = 9
x = 3 - 5×2 + 6x – 42 = 3125 12 – x
5×2 + 6x – 42 = 55(12 – x)
x2 + 6x – 42 = 5(12 – x)
x2 + 6x – 42 = 60 – 5x
x2 + 11x – 102 = 0
(x + 17)(x – 6) = 0
x = -17 atau x = 6 - 42x – 18x + 4 = 0
2.22x – 9.2 x + 4 = 0
2.(2x)2 – 9.2x + 4 = 0
2a2 – 9a + 4 = 0
(2a – 1)(a – 4) = 0
a = ½ atau a = 4
Untuk a = ½
2x = ½
2x = 2-1
x = -1
Untuk a = 4
2x = 4
2x = 22
x = 2
Jadi Hp = {-1, 2}
2. Persamaan eksponen berbentuk af(x) = b f(x)
Jika af(x) = b f(x) maka f(x) = 0
dengan (a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1; b ≠ 1)
Contoh :
- Carilah semua x yang memenuhi 25.5 2x – 5 = 3 2x – 3
Jawab :
- 25.52x – 5 = 3 2x – 3
52. 52x – 5 = 3 2x – 3
52x – 5 +2 = 3 2x – 3
52x – 3 = 32x – 3
2x – 3 = 0
2x = 3
x = 3/2
3. Persamaan eksponen berbentuk (h(x))f(x) = (h(x))g(x)
- Jika h(x) = 0, maka haruslah f(x) > 0 dan g(x) > 0 karena nol berpangkat nol atau berpangkat negatif tidak didefinisikan.
- Jika h(x) ≠ 0 maka (h(x))g(x) ≠ 0. Maka kita dapat juga membagi kedua ruas dengan (h(x))g(x) sehingga menjadi:
(h(x))f(x) : (h(x))g(x) = (h(x))g(x) : (h(x))g(x)
(h(x))f(x) – g(x) = 1 - Jika h(x) = 1 maka f(x) dan g(x) tidak juuga memberikan syarat apapun sebab satu berpangkat sembarang itu bilangan terdefinisi dan hasilnya satu.
- Jika h(x) = -1 maka f(x) – g(x) haruslah genap sebab -1 berpangkat ganjil hasilnya bukan satu. f(x) – g(x) genap sama artinya dengan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
Jika h(x) ≠ 1 maka haruslah f(x) = g(x]
Penyelesaian persamaan tersebut (h(x))f(x) = (h(x))g(x) adalah semua x yang sudah memenuhi persamaan:
h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
h(x) = 1
h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 dan f(x) = g(x)
Contoh :
- Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 5)x2 – 4 = (x – 5)2 – x)
Jawab :
- h(x) = 0 ⟺ x – 5 = 0 ⟺ x = 5
Syarat x2 – 4 > 0 dan 2 – x > 0
Substitusikan x – 5
52 – 4 > 0 dan 2 – 5 > 0 (tidak memenuhi)
Ini berarti x = 5 bukan himpunan penyelesaian.
- h(x) = 1 ⟺ x – 5 = 1 ⟺ x = 6
Tidak memerlukan syarat sehingga x = 6 merupakan himpunan penyelesaian.
- h(x) = -1 ⟺ x – 5 = -1 ⟺ x = 4
Substitusikan x = 4 pada f(x) dan g(x)
42 – 4 = genap dan 2 – 4 = genap
Karena keduanya genap maka x – 4 merupakan himpunan penyelesaian.
- f(x) = g(x) ⟺ x2 – 4 = 2 – x
⟺ x2 + x – 6 = 0
⟺ (x + 3)(x – 2) = 0
⟺ x = -3 atau x = 2
Setelah itu disubstitusikan x = -3 atau x = 2 ke dalam h(x) diperoleh h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1
Ini berarti x = -3 atau x = 2 merupakan himpunan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah = {-3, 2, 4, 6}
Inilah pembahasan lengkap tentang pengertian persamaan eksponen beserta rumus dan contoh soal dan pembahasannya, semoga bermanfaat…
