Pembahasan Soal Vektor

01.Diketahui vektor v = [-7 8] dan A(1,-2). jika |AB|=|v| dan AB=-v, maka koordinat titik B adalah...


V = ( - 7 + 8 ) | AB | = | V | da AB = - V

A = ( 1 , - 2 )

B - A = - ( - 7 / 8 ) 

B - A = ( 7 / -8 )  

B - ( 1 / - 2 ) = ( 7 / - 8 ) 

B = ( 7 / - 8 ) + ( 1 / - 2 ) B = ( 8 , - 10 )

MASALAH KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN VEKTOR

 

Pengertian Besaran Vektor

Dalam Matematika dan fisika dikenal dua besaran, yaitu besaran vektor dan besaran skalar. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) saja, misalnya waktu, suhu, panjang, luas, volume, massa dan sebagainya.

Sedangkan, Besaran Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) dan arah (direction), misalnya kecepatan, percepatan, gaya, momentum, momen, impuls, medan magnetik dan sebagainya.

Vektor adalah suatu ruas garis berarah yang memiliki besaran (panjang, nilai) dan arah tertentu, dapat dinyatakan dalam grafis berikut.

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

Bila u menyatakan garis berarah dari A ke B maka dituliskan lambang

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

( dibaca vektor AB mewakili vektor u, sedangkan AB adalah vektor yang pangkalnya A dan ujungnya B)

1. Dua buah vektor disebut sama jika dan hanya jika panjang dan arah vektor sama

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

vektor a dan vektor b sama, artinya panjangnya sama dan arahnya sama.

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

vektor a dan vektor c tidak sama, walaupun panjangnya sama tetapi arahnya berbeda, dalam hal ini

 


2. Perkalian Skalar dengan Vektor

Bila k adalah sebuah skalar maka perkalian dengan vektor a dinyatakan dengan k a, sebuah vektor yang searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

3. Sifat-sifat skalar dengan vektor

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan


4. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan

menggunakan metode segitiga (aturan cosinus, metode jajarangenjang (aturan cosinus), metode poligon dan metode penguraian vektor.

Pengurangan vektor sama dengan penjumlahan vektor dengan salah satu vektor negatif dari vektor semula.

untuk memudahkan dalam operasi geometri, bentuknya sebagai berikut : perhatikan arah anak panahnya

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

5. Notasi Vektor

Vektor disini dinyatakan dengan huruf yang diberi arah garis diatasnya.

Vektor dapat dinyatakan dalam dua dimensi bahkan tiga dimensi atau lebih. Jika dinyatakan dalan tiga dimensi maka vektor memiliki vektor satuan yang dinyatakan dalam i, j, dan k.

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan dan arahnya sesuai dengan sumbu utama, yakni :

i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)

j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)

adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan


dengan a_x sebagai komponen arah sumbu x, dan a_y komponen arah sumbu y dan a_z adalah komponen arah sumbu z.

Bentuk tulisan vektor

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

dalam matematika lebih sering dituliskan dalam

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

 

dengan komponen dalam bentuk indeks angka

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

Panjang vektor (besar,nilai) dituliskan seperti tanda mutlak dalam aljabar

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

Atau dalam indeks angka

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

Bila vektor ditentukan oleh koordinat

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

Maka vektor AB dinyatakan dengan

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

Panjang vektor AB

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

Sedangkan vektor satuan dari suatu vektor yang dinyatakan sebagai

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

Dinyatakan dengan

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

 

panjang vektor satuan adalah 1 satuan.

 


PROYEKSI ORTOGONAL DAN PANJANG PROYEKSI BERSAMA CONTOH SOALNYA

 

Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal

By  | November 18, 2017

Proyeksi merupakan ilmu yang mempelajari tentang cara pandang objek dalam ruang dimensi tiga dalam gambar di ruang dimensi dua. Cara ini mempermudah kita untuk melihat objek yang terletak di ruang dimensi tiga. Pada proyeksi vektor, objek yang diproyeksikan berupa vektor, baik itu panjangnya atau vektor itu sendiri. Proyeksi dibedakan menjadi beberapa jenis, di antaranya adalah proyeksi ortogonal, aksonometri, proyeksi miring (oblique), dan perspektif. Pada pembahasan proyeksi vektor kali ini hanya akan membahas mengenai proyeksi vektor ortogonal. Jadi, untuk jenis proyeksi lainnya tidak akan dibahas pada halaman ini.

Proyeksi ortogonal adalah cara pandang mata pada sebuah objek yang ditarik garis tegak lurus pada sebuah bidang datar. Terdapat dua proyeksi ortogonal yang akan di bahas pada pembahasan kali ini, yaitu proyeksi skalar dan vektor ortogonal. Perhatikan gambar dua proyeksi vektor dengan arah yang berbeda pada gambar di bawah. 


Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal biasa disebut juga dengan proyeksi panjang vektor ortogonal. Dalam kata lainnya, objek proyeksi adalah panjang vektor. Rumus untuk menghitung panjang proyeksi skalar vektor ortogonal adalah sebagai berikut.

  1. Proyeksi skalar ortogonal \vec{a} pada arah vektor \vec{b}.

      \[ \left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ \left| \vec{b} \right| } \]

  2. Proyeksi skalar ortogonal \vec{b} pada arah vektor \vec{a}.

      \[ \left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ \left| \vec{a} \right| } \]

Proyeksi Vektor Ortogonal

Objek pada proyeksi skalar vektor ortogonal adalah panjang proyeksi vektor. Sedangkan pada proyeksi vektor ortogonal yang menjadi objek utamanya adalah vektornya. Vektor hasil proyeksi dapat ditentukan melalui rumus berikut.
 

  1. Proyeksi vektor ortogonal \vec{a} pada \vec{b}.

      \[ \vec{c} =  \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right| ^{2} } \cdot \vec{b} \]

  2. Proyeksi vektor ortogonal \vec{b} pada \vec{a}.

      \[ \vec{c} =  \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right| ^{2} } \cdot \vec{a} \]


    Contoh Soal dan Pembahasan

    Panjang proyeksi ortogonal vektor \vec{a} = (p, 2, 4) pada \vec{b} = (2, p, 1) adalah 4. Nilai p adalah ….

      \[ \textrm{A.} \; \; \;  -4 \]

      B. - 2

                  C. -½

                D.   ½

                E.    2

    Pembahasan:
    Mencari panjang vektor b:

      \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{2^{2} + p ^{2} + 1^{2}} \]

      \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{4+ p ^{2} + 1} \]

      \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{p ^{2} + 5} \]

      Beradasrkan rumus proyeksi skalar (proyeksi panjang) ortogonal vektor dapat diperoleh persamaan berikut.

        \[ \left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|} \]

        \[ 4 = \frac{(p, 2, 4)(2, p, 1)}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

        \[ 4 = \frac{2p + 2p + 4}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

        \[ 4 = \frac{4p + 4}{\sqrt{p^{2}+5}} \]




    \[ \sqrt{p^{2}+5} = p + 1 \]

      \[ p^{2}+5 = (p + 1)^{2} \]

      \[ p^{2}+5 = p^{2} + 2p + 1 \]

      \[ 5 = 2p + 1 \]

      \[ 2p = 5 - 1 \]

      \[ 2p = 4 \rightarrow p=\frac{4}{2} = 2 \]

    Jawaban: E.  







Pembahasan Soal Vektor

01.Diketahui vektor v = [-7 8] dan A(1,-2). jika |AB|=|v| dan AB=-v, maka koordinat titik B adalah... V = ( - 7 + 8 ) | AB | = | ...